円周率3.14…は、紀元前の人がどうやって求めたのか？

• πは円周÷直径で定義される
• 古代人は「測る」のではなく「はさみうち」で求めた
• 江戸の和算家も独自にπを追った

生徒

π＝3.14って学校で習ったけど、誰がどうやって決めたんだろう？

ムダシル先生

紀元前のアルキメデスが、円に多角形を内外からはさみうちして近似したんだ。今日はその話。

そもそも円周率(π)とは

円周率とは 「円周の長さ ÷ 直径」 で得られる定数のことです。どんな大きさの円でも、この比は変わりません。私たちが知っている 3.14159… という値は、この比が「具体的にいくつなのか」を、何百年もかけて少しずつ精密にしてきた結果です。

\[\pi = \dfrac{C}{D}\]

「測って割る」では辿り着けない

生徒

円を描いて、ヒモで周りを測って、定規で直径を測れば求められるんじゃないの？

ムダシル先生

じつはそれが、いちばん難しいんです。手で測る方法では、せいぜい「3.14くらい」までしかわかりません。

生徒

ヒモと定規でそんなに精度が出ないの？

ムダシル先生

ヒモは伸び縮みするし、定規は1mm単位までしか刻まれていない。3.1415とか、ましてや 3.14159… なんていう領域は、物理的な「測定」では原理的に到達できないんです。だから古代の数学者たちは、まったく違う作戦をとりました。円のかわりに「多角形」を考える──これが π を計算で求める第一歩でした。

アルキメデスの「はさみうち」

生徒

多角形でどうやって円の長さを出すの？

ムダシル先生

円の内側と外側に正多角形を貼り付けて、円周の長さを「これより大きく、これより小さい」と挟み込むんだよ。

生徒

サンドイッチみたいに？

ムダシル先生

そう。紀元前3世紀のアルキメデスは、シチリアのシラクサに住んでいた数学者で、正九十六角形まで増やして $3\frac{10}{71} \lt \pi \lt 3\frac{1}{7}$ を導きました。多角形の辺の数を増やすほど、内側の多角形の周は円周に下から近づき、外側の多角形の周は上から近づく。この「上下から閉じ込める」発想が、紀元前にすでにあったというのが、ちょっと震える話です。

江戸時代の和算家もπを追った

生徒

ヨーロッパだけの話だと思ってた。

ムダシル先生

じつは日本の江戸時代、関孝和や建部賢弘といった和算家たちも、独自の方法で π の桁を伸ばしていたんですよ。

生徒

鎖国してたのに？

ムダシル先生

鎖国していた島国で、世界水準の数学が独立に育っていた。建部賢弘は18世紀初頭に、アルキメデスとは別系統の級数展開を使って π を 40 桁以上計算しています。当時の世界記録レベルです。「日本の数学なんて遅れていた」というイメージは、πに関しては逆。知っておくとちょっと自慢できる話ですね。

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